Skip to content

Quote

RSA 所使用的數學

  • Quote

此文節錄《碼書:編碼與解碼的戰爭》的附錄

此書提供了許多簡單易懂的技術描繪(可惜台灣沒有再版了)


如下是 RSA 加密與解密過程的數學描述:

一、愛麗絲挑選兩個巨大的質數 pq。這兩個質數應該要非常龐大,不過,為了簡化說明,我們假設愛麗絲所挑選的是 p=17,q=11。這兩個數字必須保存好,不讓任何人知道。

二、愛麗絲把這兩個質數相乘,得到另一個數字 N。在此例,N=187。她又再挑一個數字 e,假設 e=7,數字 e 和數字 (p-1)×(q-1)必須互質,也就是說,它們不可以有共同的因數

三、愛麗絲公佈 e 和 N,這兩個數字一起,被稱為公開鑰匙(所選取的 e 值可以跟其他人的一樣,但 N 值必須是獨一無二的)

四、加密訊息時,必須先把訊息轉換成一個數字 M。例如,文字被轉換成 ASCII 二進位數字時,我們可以把這些二進位想成一個十進位數字。接著根據如下的公式,就可以把 M 加密成密碼文 C

五、假設巴伯想送愛麗絲一個吻,就單單一個字母 X。X 的 ASCII 碼是 1011000,換算成十進位數字是 88,因此 M=88

六、巴伯查詢愛麗絲的公開鑰匙,發現 N=187, e=7。這兩個數字等於提供了他加密訊息給愛麗絲所需的公式。套入公式:

用電子計算機運算這個式子反而費事,因為它的顯示版容不下這麼大的數字。事實上,模算術的指數函數有一個計算訣竅:

巴伯把密碼文 C=11 寄送給愛麗絲

七、我們知道模算術裡的指數函數是單向函數,要從 C=11 逆向求出原始訊息 M 是非常困難的事。所以,依芙沒有辦法解譯這則訊息。

八、愛麗絲可以解譯這則訊息,因為她有特別的資訊:她知道 p 和 q 的值。她會利用下面的公式計算出一個 d 值,即她的私人鑰匙:

d 值的演算並非輕而易舉的工作,不過一種稱為歐基里德演算法的技巧可以幫愛麗絲又快又簡單地求出 d 值

九、愛麗絲利用下面的公式解譯訊息:


瑞維斯特、薛米爾和艾多曼創造了一個特殊的單向函數,只有持有特別資訊(p 和 q)的人才能求回原值。每個人都挑選不一樣的 p 和 q,等於把這個函數個人化,任何人都可以用 N 值加密訊息,但只有知道 d 值的人可以解密訊息

碼書:編碼與解碼的戰爭

  • Quote

鑰匙的重要性遠高於演算法,這就是密碼學上顛撲不破的真理……密碼系統的安全性不在於防止敵人洞悉密碼演算法,鑰匙的保密才是決定密碼安全性的唯一關鍵

每種密碼法都可視為一種演算法(algorithm)——再加上一把鑰匙(key)的組合結果。鑰匙是用來指定特定加密程序的演算細節

(替代法的)鑰匙的定義可以更簡單,制定密碼字母集時,發信人可以選用一個鑰匙字(keyword)/鑰匙片語(keyphrase),而不必將全部的字母隨機重排……例如,選用 JULIUSCAESAR 當鑰匙片語,再以這些字母當密碼字母集的起始字母,接著,把字母集的其他字母,依照原有順序,接到鑰匙片語的後面,就能造出密碼字母集

舊約聖經含有一些蓄意的、明顯的密碼應用例子,讓中世紀的修士深深著迷。例如,舊約聖經就有幾段以「atbash 法」加密的文字。Atbash 是一種傳統的希伯來文替代式密碼法:要替換字母時,先記下他在字母集的順序編號,再取從字母及後頭倒數過來順序相同的字母取代。以英文為例,第一個字母 a,就以最後一個字母 Z 來代替。事實上,atbash 這個字就暗示了它所描述的替代法。它包含希伯來文字母的 aleph,跟著的是最後一個字母 taw,再來是第二個字母 beth,最後是倒數第二個字母 shin

……簡易的方法來增強單套字母替代法的安全性,其中一種方法是引進「虛元」(nulls),亦即不代表任何字母,像空格一樣不具任何意義的字母或符號。例如我們可以在 1 到 99 之間任選 26 個數字來替代明文字母,剩餘 73 個不代表任何字母的數字,則以不同的頻率隨意散至在密碼文之間……這些虛元會干擾頻率分析法的應用

另一個扶助岌岌可危的單套字母替代法的辦法是使用代碼字 (codewords)。code 這個字在日常語言有非常廣泛的含義,常被用來描述任何祕密通訊方法……它其實有特定的意義,專指某種形式的替代法……讓整個單字改由另一個單字或符號替代

在技術上,代碼法 (code) 指的是單字或片語層面的替代法;密碼法 (cipher) 指的是字母層面的替代法。因此,密碼加密 (encipher) 指的是用密碼法改寫訊息;代碼加密(encode)則是用代碼法改寫訊息。同理,解譯密碼 (decipher) 是還原以密碼法加密的訊息,解譯代碼 (decode) 則是還原以代碼法加密的訊息

……仔細檢視代碼法,我們會發現它有兩大缺點,不如密碼法實用……要達到同樣的彈性,得先定義數千個可能會用到的明文單字代碼。這樣一本代碼簿恐怕會有好幾百頁……(攜帶不易)……再者,代碼簿被敵人俘獲的後果會非常悽慘,發信人和收信人必須再度重新編撰一本全新的代碼簿

Read More »碼書:編碼與解碼的戰爭

大師的刻意練習

  • Quote

註:以下節錄來自各個不同訪談

藝術中重要的是差異,不是相似。每個個別表現都是一種藝術形式;如此說來,何不栽培每根手指成為一個藝術家,培養出其特殊天賦,而不是使其順應刻意算計來破壞這些個別特徵的訓練系統?那種訓練系統只會拉平所有手指的層級,使其成為無生氣的機器。

大家『用巴哈的音樂』來達成某些技法目的的說法,令人心碎不已。他們似乎從未想過詮釋巴哈,只把他當成是一種技法升降梯,希望藉此達到一流的音樂高度。我們甚至也聽過大家以同樣不懷好意的方式來談蕭邦,但巴哈這位大師中的大師,還是最大的苦主。

正確來理解,技法就是藝術,必須當成藝術來學習。音樂中的所有技法,無一不是音樂本身。

在所有樂器中,鋼琴的天生表現力最低,學生最重要的便是去理解其抗拒的本質。鋼琴的動作純粹是機械性的,每個個別音符都沒有意義……按下個別音符的是個孩子還是帕德瑞夫斯基都沒有差別——音符本身沒有表現力。至於小提琴、人聲和除了風琴以外的所有樂器,個別音符發出或拉響後還可以變化,這種更動包含著情感表達的一切廣博可能。

因此我們彈鋼琴時,唯一的表現途徑是各音符在一連串音符或和弦中的關係………了解這點的學生少之又少。他們的心力似乎多半放在讓一連串特定音符中的所有聲響盡量相向,如同一個模子刻出來的硬幣。他們以鋼琴為唯一的樂器,從來沒想過向表現潛能比鋼琴卓越無數的人聲或其他樂器學習。

目睹一個災難事故時,呼吸不可能不顯現出內心的刺激和激動。喜悅、憤怒、恐懼、愛、寧靜、悲傷——這些情緒在在有不同的呼吸模式,一位訓練有素的演員必須非常密切地研究這點。

你希望做音樂嗎?如果是,那就想著音樂,不論何時都只思考音樂,甚至深入到最末微的技法細節。你的抱負是彈好音階、八度音、雙音和顫音嗎?那麼請無論如何集中心思到這上頭,心無旁鶩,不過如果後來你想以自己機械性的動作表達活力時,可別訝異自己除了報時木偶般的笨拙動作外,什麼也做不到。

Read More »大師的刻意練習

笑忘書

  • Quote

失去的信件

klement-gottwald-vladimír-clementis-vanish

人類對抗權力的鬥爭,就是記憶與遺忘的鬥爭。

憲法保障言論自由,話是沒錯,但是任何有可能被認定是危害國家安全的行為,都會遭到法律的制裁。沒有人知道,我們的國家什麼時候會跳起來厲聲指責說,這句話或哪句話危害到了國家的安全。

知識份子這個詞,在當時慣用的政治語彙裡屬於侮辱性的字眼,意思是說一個人缺乏現實感,跟人民拖了節。在那段時日裡,所有被共產黨員絞死的共產黨員,都曾經被安上這種羞辱。據說,知識份子和腳踏實地的人們不同,他們總是活在半空中,不知自己飄盪在何處。所以就某種意義上來說,跟他們雙腳永遠離開地面也是對的,就讓他們吊在那兒,跟地面保持一點距離也好。

智利總統阿言德的暗殺事件,很快就取代了俄國人入侵波希米亞在我們心中留下的記憶;孟加拉的血腥大屠殺讓人忘記了阿言德;西奈沙漠裡,以色列人和阿拉伯人的殺聲喧天,蓋過了孟加拉傳來的呻吟;柬埔寨大大小小的屠殺事件又讓人忘掉了西奈沙漠;依此類推,類推,再類推,最後每個人會將每件事都徹底遺忘。

在從前的日子裡,歷史還是緩慢前行的,為數不多的事件在人們的記憶裡悠然留下身影,交織成眾人熟悉的佈景。人們的生活就在這幅佈景前,展現著種種令人驚奇的事蹟,演出扣人心弦的戲劇。如今,時間卻踏著大步前進。歷史事件如朝露般一閃即逝,晨光降臨即被遺忘;歷史事件不再是敘事者的背景布幕,它本身就引人注目,它以人們再熟悉不過的庸碌生活為背景,演出一齣齣令人驚奇的事蹟

我再強調一次:牧歌,為所有的人。長久以來,人類總是嚮往著牧歌,嚮往這片夜鷹歌聲繚繞的田園,嚮往這個和諧的國度。在這個國度裡,人類不會遭到陌生世界的侵擾,人與人之間也不會扞格不入;相反地,世界和每一個人都是用同一種材料捏造出來的。在那裡,人人都是巴哈賦格曲裡反覆澎湃歌詠同一崇高主題的一棵音符,不想當音符的,就杵在那兒像個沒用的小黑點似的,毫無意義,只消輕輕拈來,用指甲一掐,小黑點就會像跳蚤一般,被捏得粉身碎骨。

他覺得自己對命運負有責任,但命運卻不覺得它對他有什麼責任。

歷史事件往往前仆後繼,相互模仿而了無心意。但我認為,人類的歷史卻在波希米亞完成了一場史無前例的試驗。這一次,歷史的進程不是依照古老的慣例,由一群人(一個階級,或是一個民族)起來反抗另一群人,而是有人(整個世代的男男女女)奮起造反,對抗自己的青春。

米瑞克的名字也給抹掉了。現在,雖然他踩著一階一階的樓梯走向芝丹娜的家門口,但實際上,他只是一塊污漬抹境之後殘留的白痕,一小片鑲著輪廓的空無,順著迴旋的樓梯向上走去。

他們會逼著他把自己的生命拋擲向遠方,讓自己化為暗影,成為一個沒有過去的人、一個沒有角色的演員,他們甚至會逼他把被人拋向遠方的生命和演員放棄的角色也一併化為暗影。非得如此將他的形體化為暗影,他們才要讓他活下去。

男孩把女孩從他的生命的相本中抹去,那並不是因為他不愛她,而是因為他愛過她。他把她抹掉,她的人以及他對她的愛,他刮落她的身影,直到消失為止,就像黨的宣傳部讓克雷蒙提斯從戈特瓦發表歷史演說的陽台上消失一樣。米瑞克改寫歷史的手法跟共產黨如出一轍,跟所有政黨也毫無二致,跟所有民族,跟全人類,都一樣。人們高聲疾呼,說要打造一個更美好的未來,其實是騙人的,未來不過是一片無足輕重的空白,任誰都不會有興趣,但是,過去卻充滿了活力,它的臉孔激怒我們,反抗我們,傷害我們,其為禍之深,直教人動念將它摧毀,或至少重繪它的面貌。人們想要主宰未來,其實只是為了能夠改變過去。人們相鬥相殘,就是爭著要進入那些神奇的暗房,去修整照片,改寫個人的傳記,甚至人類的歷史。

他們要把幾十萬人的生命從記憶中抹去,好讓無暇的田園牧歌永遠無暇。然而正是在這首牧歌裡,米瑞克要以自己的血肉之軀拋擲其間,橫灑一片污漬。他要一直待在那裡,就像克雷蒙提斯的氈帽一直留在戈特瓦的頭上一樣。

媽媽

這麼說吧:其實所有的愛情都是建立在一些不成文的公約上,那是戀人們還在熱戀的最初幾星期裡,未經深思熟慮就草草擬定的公約。那時戀人們還沈浸在夢裡,但這時候,他們其實已經不知不覺地扮演起難纏的法學家,開始逐條逐字編寫他們的愛情合約。噢!戀人們,開頭這幾個險惡的日子裡要當心哪!如果您幫別人把早餐端到床上,你就得一輩子幫他送早餐過去,否則您就會揹上讓愛情褪色與背叛的罪名。

沒錯,經歷這許多年,夫妻倆已經變成了雙胞胎,兩人用同樣的字彙,有同樣的想法,也擁有相同的命運。夫妻倆彼此都將艾娃當作禮物送給對方,讓對方快樂。夫妻倆都覺得自己在推石頭上山。夫妻倆都覺得倦了。

現在,他眼前浮現那全小城崗巒悠悠的景致,木雕的廊柱、一群群綿羊在山丘上的草原覓食、羊頸上的小鈴叮叮噹噹地晃著。他在腦海裡把娜拉赤裸的身體安插在這片鄉野景致之中(就像拼貼畫的作者在一幅畫裡貼上從另一幅畫剪下來的圖片),他腦中閃現一個想法:美,就是兩個不同的年代跨越了時光之炬,在相遇時迸濺激射的火花。美,就是對編年紀事的棄絕,就是對時間概念的反叛。

天使們

支配世界的權力,誠如我們所知,是由天使和惡魔分享的。然而,世上的善並不能保證天使就比魔鬼佔優勢(像我小時候所相信的那樣),事實上,兩者的權力差不多是平衡的。如果世界上有太多不容爭辯的意義(天使專權),人類就會被這些意義的重量壓垮。而如果世界失去所有的意義(魔鬼統治),人們也一樣活不下去。

笑帶有某種壞的成份(事物的呈現突然跟原本設想的不同),不過也有好的一面,它可以讓人得到紓解(事物變得比其外表來得輕逸,讓我們活得比較自由,事物也不再以其肅穆莊嚴的外表來壓迫我們)。

這世界上有兩種笑,而我們卻沒有詞彙來區辨他們。

最後,她希望至少能和她的學生們處於完全和諧的狀態,也就是說和他們成為一個整體,意思就是說,她要學生們永遠都得跟她有相同的想法、相同的說法,她要學生們跟她形同單一的身體、單一的靈魂,在相同的圈子裡跳著相同的舞步。

如果我們遠離的是一列行伍,或許還有歸隊的機會。但圓圈是封閉的,一旦脫離,斷難回頭。要知道,行星繞著圓周運行絕非偶然,一顆石頭脫離了行星,無可避免地會被離心力拋擲出去。

失去的信件

照我估計,每秒鐘都有兩、三個新的小說人物經歷受洗命名般的過程,來到人間。

這句『對,我也是這樣,我……』看似每種附和的回聲,好像要接續別人的想法,但其中卻有詐:事實上,這句話是一種以暴制暴的粗魯行徑,說話的人粗魯地把自己受奴役的耳朵拯救出來,同時迫使對手的耳朵成為階下囚。人們沉浮在跟自己相似的人群裡,而人生也不過是一場征服他人耳朵的戰爭。

『小說是人類錯覺的結晶,一種自以為可以了解他人的錯覺。』

普遍的疏離引發了寫作狂,而普遍的寫作狂又強化了疏離。過去,印刷術的發明讓人們得以相互瞭解。然而值此寫作狂遍地可見的年代,寫書這回事的意義卻大異其趣:人人都被困在自己的言詞裡,像被大片鑲著鏡子的牆壁所圍繞,任何外界的聲音都無法穿透。

寫書的人,要嘛化身為全部(一個獨特的世界——為他,也為所有人而創的世界),要嘛就是個零。由於沒有人能夠化身為『全部』,所以我們這些寫書的,每個人都是『零』。我們被人看輕,我們善妒又尖刻,我們恨不得別人都去死。

不論政客或是計程車司機、產婦還是情婦,也不論殺手、小偷、妓女、警察局長、醫生還是病人,各行各業裡,寫作狂的激增說明了一件事:人類無一例外,皆有成為作家的潛能,因此大家都可以理直氣壯地跑到街上大喊:我們都是作家!這是因為大家都害怕自己會隱沒在一個無關輕重的世界裡,沒人聽,沒人理,所以要趁著還來得及的時候,把自己轉化成一個世界,一個用話語堆砌而成的世界。

總有一天(這一天也不遠了),每個人都會發現自己是作家,當這一天來臨的時候,人類就會進入一個全面聾聵、全面誤解的年代。

行過死蔭之地

  • Quote

「牢中生活不見得能感化他們,但肯定會加強他們的犯罪技巧。」

人生啊!曾有人說過,對於那些靠思考過日子的人像是一齣喜劇,對於那些憑感覺過日子的來說卻是一場悲劇。對我而言,無論怎麼過日子都是有喜有悲,即使你什麼都不做也逃不掉。

緩慢

  • Quote

跑步的人與摩托車騎士全然不同,他始終存在自己的身體之中,所以不得不時時刻刻想到腳上的水泡,想到自己氣喘吁吁;跑步的時候,他感覺到自己的體重,自己的年紀,他筆任何時候都更清楚地意識到自己,意識到屬於他生命的時間。當人把速度的能力交付給一台機器後,一切都變了,從此,他自己的身體就出局了,他投身一種非身體性、非物質性的速度,那是一種純粹的速度,為自身而存在的速度,狂迷的速度。

要佔據舞台,就得把別人擠下去,這就得要有某種特殊的戰技了。舞者的戰鬥,彭特凡稱之為道德柔道。舞者向全世界下戰帖:有誰能比他表現得更道德(更勇敢,更誠實,更真心,更願意犧牲奉獻,更實話實說)?他會使出渾身解數,讓別人在道德上居於劣勢。

談話不只是為了填滿時間,相反的,是談話在分配時間,控制時間,並且強迫時間遵守它規定的法則。

緩慢的程度與記憶的強度成正比;快速的程度與遺忘的強度成正比。

存在所擁有的每一種新的可能性——就算機率微乎其微——都會徹底改變存在。

「選民」是一種神學概念,意思是:一個人不是因為有什麼功績,而是經由一種超自然的判決,套過上帝的自由意志,甚至是祂隨心所欲的意志,被選去做某件特別例外又超乎尋常的是。聖徒們正是在這樣的信念中汲取力量,才能承受最殘暴的酷刑。種種神學概念,一如這些概念的仿效心理,投射在我們平凡無奇的生活裡;我們每個人(或多或少)都因為生活太過平凡而感到卑微,都渴望擺脫這種生活,渴望自我提昇。我們每個人都有過這種幻覺(或強或弱),認為自己配得上某種提昇,認為自己是注定、是被選去獲得這種提昇的。

「你的夢就像字紙簍,我把寫太蠢的那幾頁丟在裡頭。」

我們講述當代歷史的方式就像是一場大型演唱會,我們在其中連續表演一百三十八號貝多芬的作品,但是每一號作品都只演奏最前面的八個小節。十年之後,如果我們再辦同樣的音樂會,我們只會演奏每一號作品的第一個音符,也就是說,整場音樂會就是一百三十八個音符,讓人當作一段旋律表演出來。而二十年後,貝多芬的所有音樂將會化約為一個極長的高音,就像他聾掉那天聽到的唯一一個音符,極其尖銳,無窮無盡。

我們的時代為遺忘的速度著迷,為了滿足這個欲望,這個時代沉緬於膜拜速度的惡靈。時代加快腳步,因為它要讓人們明白,它不想再被人想起;它對自己感到厭倦;它對自己產生反感;它想要吹滅顫顫巍巍的記憶之火。

求求你,朋友。我隱約感覺到,我們唯一的希望就是寄託在你快樂的能力之中。